Si te fijas, los dos parámetros que estás pasando al socket hacen lo mismo, por lo que podrías quitar una función como parámetro y utilizarla tanto para el juego local como para el juego del "compañero".
Esta es mi propuesta

function escuchar() {
  let elements = document.querySelectorAll('.cat-element');
  elements.forEach(element => {
    element.addEventListener('click',function() {
      if(!this.hasChildNodes()) socket.play(parseInt(this.id.split('-')[1]));
    });
  });
}

function dibujarFigura(p) {
  return p ? 'X' : 'O';
}

function dibujarMovimiento(pos,cFigure) {
  let p = document.createElement('p');
  p.style.fontWeight ='bold';
  p.style.top = '42%';
  p.style.right = '47%';
  p.style.display = 'inline';
  p.style.position = 'absolute';
  p.innerHTML = dibujarFigura(cFigure);
  document.querySelector('#elemento-' + pos).appendChild(p);
}

var socket = new Socket(dibujarMovimiento,3);

function Socket(movimiento,reinicie) {}
  this.play = function(pos) {
    socket.emit('nuevo_movimiento',{pos});
    movimiento(pos,this.juego);
  }
  let juego = null;
  let socket = io();
  socket.on('connect',() => {
    socket.on('init',data => {
      if(juego == null) escuchar();
      this.juego = data.figure;
    });
    socket.on('alguien_movio',function(data) {
      movimiento(data.pos,data.figure);
    });
  });
}